Мышке до норки 20 шагов. Кошке до мышки 5 прыжков. Пока кошка совершит один прыжок, мышка сделает 3 шага. Один кошачий прыжок равен 10 мышиным шагам. Догонит ли кошка мышку?

На полянке сидели обезьяны, у каждой было несколько бананов и несколько ананасов. Оказалось, что никакие две обезьяны не могут переделить между собой свои фрукты (не ломая их) так, чтобы у них было поровну и бананов, и ананасов. Какое наибольшее число обезьян могло сидеть на поляне?

Натуральное число умножили на 2, но сумма его цифр не изменилась. Докажите, что эта сумма делится на 9.

Каждая из шести граней кубика окрашена в свой цвет (цвета не повторяются). Кубик положили на стол и перекатывают через рёбра по правилу «влево-вперёд-вправо-назад-влево-вперёд-вправо-назад-...» Через сколько ходов кубик вернётся в точности в исходное положение?

Петя и Вася играют. Перед ними две коробочки — красная и синяя. Петя за ход может положить либо 1 спичку в красную коробочку, либо 2 спички в синюю. Вася за ход может положить либо 2 спички в красную коробочку, либо 1 спичку в синюю. Начинает Петя. Выигрывает тот, после хода которого впервые появится коробочка с числом спичек, большим 179. Кто может обеспечить себе победу?

Три спортсмена стартовали одновременно из одной точки круговой дорожки. Через некоторое время они вновь одновременно оказались в точке старта. Известно, что за это время самый быстрый спортсмен обгонял самого медленного 15 раз (обгон в момент старта учитываем, а встречу на финише не учитываем). Сколько всего за это время было случаев, когда один из спортсменов обгонял другого? Спортсмены бегут равномерно (с разными скоростями).

На тетрадном листе отмечены:

1. 10 точек на одной прямой;
2. три точки в вершинах треугольника.

Разрешается сложить лист бумаги несколько раз по прямой так, чтобы отмеченные точки не попали на линии сгиба, и затем шилом проколоть сложенный лист насквозь. Для каждого из случаев а) и б) докажите, что можно добиться, чтобы дырки оказались в точности в отмеченных точках и лишних дырок не получилось.