Задача 5.
Петя и Вася играют. Перед ними две коробочки — красная и синяя. Петя за ход может положить либо 1 спичку в красную коробочку, либо 2 спички в синюю. Вася за ход может положить либо 2 спички в красную коробочку, либо 1 спичку в синюю. Начинает Петя. Выигрывает тот, после хода которого впервые появится коробочка с числом спичек, большим 179. Кто может обеспечить себе победу?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: Победит Вася.
Решение:
Пусть Вася всегда кладёт спички в ту же коробку, что и Петя. Тогда в любой момент после хода Васи в каждой коробке количество спичек кратно трём, а после хода Пети — не кратно. Заметим также, что все количества спичек в коробке, кратные трём, будут появляться без пропусков (ход Пети прибавляет к числу, кратному 3, всего 1 или 2). Рассмотрим тот момент, когда в одной из коробок станет 177 спичек. Это случится, так как сумма чисел в коробках увеличивается каждым ходом хотя бы на 1. Поскольку 177 кратно 3, сейчас ходить Пете. Если Петя положит что-то в неё, в ней станет не более 179 спичек. И Вася выиграет следующим ходом, доложив в неё спичек до 180.
