Задача 5.
На каждой клетке доски 8 × 8 стоит кубик 1 × 1 × 1. У каждого кубика одна грань чёрная, а остальные — белые. За один ход разрешается проткнуть спицей целиком один ряд (строку или столбец), вынуть его, повернуть вокруг спицы, вставить обратно и вытащить спицу. Всегда ли можно за несколько таких ходов повернуть все кубики чёрными гранями вверх, как бы они не были расставлены изначально?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: Да, всегда можно.
Решение:
Покажем, как повернуть любой один кубик чёрной гранью вверх, не поменяв положения остальных. Возьмем любой кубик, который ещё не повёрнут чёрной гранью вверх. Его можно поставить правильно, повернув либо столбец, в котором лежит этот кубик, либо строчку. Пусть, для определённости, строчку. Тогда проткнем эту строчку и повернём кубик чёрной гранью вверх. После этого проткнем столбец и повернём на четверть оборота в любую сторону. Теперь кубик лежит чёрной гранью набок, и вращение строки не меняет положения чёрной грани. Воспользуемся этим и повернём строчку, в которой лежит наш кубик, в исходное положение. А затем повернём в исходное положение столбец с этим кубиком. В результате кубик лежит чёрной гранью вверх, а все остальные кубики мы вернули в исходное положение. Осталось последовательно повернуть каждый кубик в нужное нам положение, используя этот алгоритм.
