Задача 11.
Незнайке поручили покрасить клетчатые ставни 2×2 (см. рисунок) на окнах нового дома в Цветочном городе.
Незнайка красит каждую клетку в один из трёх цветов.
- Сколько различных ставень он сможет получить?
- Сколько различных ставень он сможет получить, если ставни можно красить не более чем в два цвета?
- Сколько различных ставень он сможет получить, если ставни можно красить в два или три цвета, причём квадратики одного цвета не должны иметь общую сторону?
Ответ на Задачу 11.
Ответ: а) 81; б) 45; в) 18.
Решение:
а) Поскольку каждую клетку можно покрасить в один из трёх цветов, то для каждой клетки 3 варианта. Клеток 4. Поэтому всего 3×3×3×3.
б) Если цветов два, то для каждой клетки вариантов 2. Поэтому для фиксированных двух цветов вариантов 2×2×2×2=16. Способов, какими можно выбрать два цвета из трёх – 3. Поэтому вариантов 16×3. Однако мы три варианта сосчитали дважды – это варианты одноцветных ставень. Поэтому всего вариантов 45.
в) Если цветов два, то единственно возможный случай – это красить в один цвет диагонали. Тогда для любых двух фиксированных цветов вариантов 2, выбрать эти два цвета можно трёмя способами. Итого 6. Рассмотрим случай окраски в 3 цвета. Тогда возможен только вариант, что одна диагональ выкрашена в один цвет, а две другие клетки разного цвета. Зафиксируем эту диагональ. Тогда два варианта покрасить оставшиеся две клетки в два цвета. Возьмем другую диагональ – тоже два варианта. Всего 4 для каждого выбранного цвета диагонали. Получается вариантов 4×3=12 (так как три возможных цвета для диагонали). Плюс посчитанные ранее 6 вариантов.
