Задача 6.
В футбольном турнире, проходящем в два этапа, участвуют 16 команд. В первом этапе все команды играют между собой двухкруговой турнир (каждая команда с каждой играет два матча). Во втором этапе первые восемь команд играют между собой двухкруговой турнир, и последние восемь команд играют между собой двукруговой турнир. Какая наибольшая разница очков может быть между очками первой команды первой восьмёрки и первой команды второй восьмёрки в конце турнира, если за победу в каждом матче даётся 3, за ничью — 1 и за поражение — 0 очков (очки после первого этапа сохраняются)?
Ответ на Задачу 6.
Ответ: 104.
Решение:
Рассмотрим турнир, в котором первые 30 туров сыграны произвольно. Посмотрим на команды в верхней половине и в нижней. Пусть если в данный момент «верхняя» команда не выиграла у «нижней», то переиграем матч, так чтобы выиграла. Так сделаем для любых двух команд. Заметим, что в результате таких действий ни одна команда из нижней половины таблицы не поднимется в верхнюю и ни одна команда из верхней половины не опустится в нижнюю. Также сделаем так, чтобы первая команда все матчи выиграла. Теперь рассмотрим последние восемь команд. Заметим, что эти команды за все 44 тура набрали в сумме очков минимум 8⋅28, тогда первая из них набрала минимум 28. В то же время первая команда первой восьмёрки могла набрать 3⋅30 + 14⋅3 = 132 – а это максимально возможное число очков. Значит, наибольшая возможная разность 132 – 28 = 104.
