Задача 9.
Иван нарисовал пятиугольник и в его вершинах написал 5 различных натуральных чисел. Затем на каждой стороне этого пятиугольника он написал наименьшее общее кратное чисел, написанных в вершинах этой стороны и заметил, что все записанные на сторонах пять чисел равны. Какое наименьшее число могло оказаться на сторонах?
Ответ на Задачу 9.
Ответ: 30.
Решение:
Если в вершинах написать числа (2, 15, 6, 10, 30), число, записанное на сторонах, равно 30. Объясним, почему меньшее число получится не может. Докажем, что число на сторонах имеет как минимум три различных делителя (когда оно минимально). Очевидно, оно не могут иметь только один простой делитель, предположим что оно имеет ровно два простых делителя 𝑝 и 𝑞. Пусть число, записанное на, сторонах, равно 𝑝𝑎𝑞𝑏. Тогда одно из двух соседних чисел в вершинах делится на 𝑝𝑎, откуда вытекает наличие как минимум трёх чисел кратных 𝑝𝑎. Эти три числа различны, поэтому наибольшие степени 𝑞, делящие их, различны, что даёт оценку 𝑏 ≥ 2. Аналогично 𝑎 ≥ 2, тогда 𝑝𝑎𝑞𝑏 ≥ 2232 > 30, противоречие. Значит, как минимум три различных простых делят числа, но тогда наименьшее общее кратное равно 2⋅3⋅5 = 30.
