Задача 3.
Кощей Бессмертный решил собрать сундук изумрудов и в первый день положил в пустой сундук 1 изумруд. На следующий день положил туда 2 изумруда и так далее – каждый следующий день он клал в сундук на 1 изумруд больше, чем в предыдущий. Однако во вторую ночь Баба Яга стащила из сундука 1 изумруд и каждую следующую ночь тащила на 1 изумруд больше. Как только в сундуке наберётся 2016 изумрудов, Кощей его запечатает и спрячет, и баба Яга не сможет красть. На какой день это произойдёт?
Ответ на Задачу 3.
Ответ: На 1009 день.
Решение 1: В первый день в сундуке 1 изумруд, во второй 1+2, но сразу после второй ночи 1+2−1 = 2. На третий день их уже 2+3, а на третью ночь 2+3−2 = 3. То есть на n-ю ночь в сундуке n изумрудов, а днём (поскольку это уже n+1 день) изумрудов 2n+1. Далее ночью изумрудов уже n+1. И так далее. Нам нужно найти n, когда впервые 2n+1 будет 2016 или больше. Так как 2n+1 нечётно, то должно быть равно 2017. И тогда n = 1008. А день, соответственно 1009.
Решение 2: Заметим, что поскольку днём добавляется сколько-то изумрудов, а ночью крадётся на 1 изумруд меньше, то каждой ночью количество изумрудов по сравнению с предыдущей увеличивается на 1. При этом в первую ночь был 1 изумруд, во вторую – 2 и так далее. Значит на 1008 ночь в сундуке будет 1008 изумрудов. Днём добавится ещё 1009 и получим 2017 > 2016 в первый раз.
