Задача 3.
На доске написано 9 букв: П О М П О Н Ч И К. Катя заменяет каждую букву на какую-то цифру, причём разные буквы она заменила на разные цифры, а одинаковые буквы – на одинаковые цифры. После этого Оксана хочет поставить между некоторыми буквами (возможно, не всеми) знак «+» так, чтобы получился пример на сложение с чётным результатом. Докажите, что Оксана всегда сможет этого добиться.
Ответ на Задачу 3.
Решение:
Заметим, что среди 9 букв на доске есть 7 попарно различных. Поскольку всего существует лишь 5 чётных и 5 нечётных цифр, то среди цифр на доске будет хотя бы 2 чётных и хотя бы 2 нечётных. Теперь покажем, что для того, чтобы справиться со своей задачей, Оксане достаточно поставить всего лишь один знак «+».
Предположим, что буква К заменена на чётную цифру, тогда в слове есть одна другая чётная цифра. Оксане достаточно поставить один знак «+» сразу после другой буквы. При этом в сумме окажется 2 чётных числа и их сумма, конечно, будет чётна.
Теперь предположим, что буква К заменена на нечётную цифру, тогда в слове есть одна другая нечётная цифра. Оксане достаточно поставить один знак «+» сразу после другой буквы. При этом в сумме окажется 2 нечётных числа и их сумма вновь будет чётна. Таким образом Оксана сможет всегда добиться желаемого.
