Задача 3.
Известно, что $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник. Прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $P$, прямые $CE$ и $AD$ — в точке $Q$, прямые $AD$ и $BE$ — в точке $O$, треугольники $ABP$ и $DEQ$ — равнобедренные с углом при вершине равным 40°. Как значения может принимать градусная мера угла $ACE$, если известно, что треугольники $APO$ и $EQO$ также равнобедренные.
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 120° или 75°.
Решение:
Рассмотрим треугольник $ABP$. Угол $APB$ в нём может быть 40° или 70°. Тогда смежный $\angle APO$ составляет 140° или 110°. Значит, в треугольнике $APO$ это угол при вершине и $\angle AOP$ составляет 20° или 35°.
Проведём аналогичные рассуждения для треугольников $DQE$ и $EQO$, получим, что $\angle QOE$ также составляет 20° или 35° в зависимости от $\angle DQE$. Но $\angle QOE$ = $\angle AOP$, как вертикальные, значит $\angle APB$ = $\angle DQE$. Тогда $\angle ACE$ = 360° − $\angle CPO$ − $\angle CQO$ − $\angle POQ$ = 360° − $\angle APB$ − $\angle DQE$ − $\angle AOE$, что составляет 120° или 75°.
