Пусть $k$ — натуральное число. Докажите, что среди 29 последовательных чисел 30$k$ + 1, 30$k$ + 2, …, 30$k$ + 29 имеется не более 8 простых.

Найдите $\displaystyle \frac{a}{b}$, если $(6a + b)^2 = 25ab$.

Известно, что $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник. Прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $P$, прямые $CE$ и $AD$ — в точке $Q$, прямые $AD$ и $BE$ — в точке $O$, треугольники $ABP$ и $DEQ$ — равнобедренные с углом при вершине равным 40°. Как значения может принимать градусная мера угла $ACE$, если известно, что треугольники $APO$ и $EQO$ также равнобедренные.

Бельчонок прошёл в финал математического конкурса. Перед ним лежат 25 шишек, 25 грибов и 25 ягод. Бельчонку требуется выбрать 25 из 75 этих предметов так, чтобы заработать максимальное количество баллов. Баллы начисляются следующим образом. За каждую шишку бельчонок получает один балл. За каждый гриб — количество баллов, равное удвоенному количеству выбранных шишек. За каждую ягоду — количество баллов, равное утроенному количеству выбранных грибов. Какое максимальное количество баллов может получить бельчонок?

В шахматном турнире участвовали 52 бельчонка-шахматиста. Перед обеденным перерывом на турнире было сыграно 64 партии, причём каждый бельчонок сыграл либо 2, либо 3 партии и никто из бельчат не играл друг с другом дважды. Возможно ли, что никакие два бельчонка, сыгравшие по 3 партии, не играли между собой?