Задача 4.
Бельчонок прошёл в финал математического конкурса. Перед ним лежат 25 шишек, 25 грибов и 25 ягод. Бельчонку требуется выбрать 25 из 75 этих предметов так, чтобы заработать максимальное количество баллов. Баллы начисляются следующим образом. За каждую шишку бельчонок получает один балл. За каждый гриб — количество баллов, равное удвоенному количеству выбранных шишек. За каждую ягоду — количество баллов, равное утроенному количеству выбранных грибов. Какое максимальное количество баллов может получить бельчонок?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 468 баллов.
Решение:
Обозначим количества взятых бельчонком шишек, грибов и ягод за $x$, $y$ и $z$ соответственно.
Число баллов, которое получит бельчонок, выражается формулой $x + 2xy + 3yz = x\cdot(2y + 1) + 3yz$. Если $y$ = 0, то бельчонок получит баллы только за шишки, то есть не более 25 . Если же $y\geq1$, то $2y + 1\leq3y$, и, как видно из формулы выше, после замены всех шишек на ягоды количество баллов, набранных бельчонком, не уменьшится. Тем самым можно считать, что бельчонок выбрал только ягоды и грибы, и тогда $y + z = 25$. Общая сумма набранных баллов вычисляется по формуле $3y\cdot(25 − y)$.
Рассмотрим параболу $f(t) = 3t(25 − t)$. Максимальное значение в целочисленной точке достигается, когда эта точка ближе всех к вершине параболы, то есть при $t$ = 12 или $t$ = 13. Количество очков при этом равно $3\cdot12\cdot13 = 468$.
