Ответ: $\displaystyle \frac{1}{4}$, $\displaystyle \frac{4}{9}$.

Решение:

Обозначим $\displaystyle \frac{a}{b} = x^2$, тогда $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{x^2}$.

По условию $9a + 2b = 9\sqrt{ab}$, откуда $\displaystyle \left(6\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2 = 25$ или $\displaystyle 6\sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = 5$.

Итак, $\displaystyle 9x + 2\frac{1}{x} = 9$ и $9x^2 − 9x + 2 = 0$. Поэтому $\displaystyle x_1 = \frac{1}{3}$ и $\displaystyle x_2 = \frac{2}{3}$. Следовательно, $\displaystyle \frac{a}{b}$ равно $\displaystyle \frac{1}{9}$ или $\displaystyle \frac{4}{9}$.