Пусть $k$ — натуральное число. Докажите, что среди 22 последовательных чисел 42$k$ + 14, 42$k$ + 15, …, 42$k$ + 35 имеется не более 6 простых.

Найдите $\displaystyle \frac{a}{b}$, если $9a + 2b = 9 \sqrt{a b}$.

Известно, что $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник. Прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $P$, прямые $CE$ и $AD$ — в точке $Q$, прямые $AD$ и $BE$ — в точке $O$, треугольники $ABP$ и $DEQ$ — равнобедренные с углом при вершине равным 64°. Как значения может принимать градусная мера угла $ACE$, если известно, что треугольники $APO$ и $EQO$ также равнобедренные.

Бельчонок прошёл в финал математического конкурса. Перед ним лежат 21 шишка, 21 гриб и 21 ягода. Бельчонку требуется выбрать 21 из 63 этих предметов так, чтобы заработать максимальное количество баллов. Баллы начисляются следующим образом. За каждую шишку бельчонок получает один балл. За каждый гриб — количество баллов, равное удвоенному количеству выбранных шишек. За каждую ягоду — количество баллов, равное утроенному количеству выбранных грибов. Какое максимальное количество баллов может получить бельчонок?

В шахматном турнире участвовали 48 бельчат-шахматистов. Перед обеденным перерывом на турнире было сыграно 58 партий, причём каждый бельчонок сыграл либо 2, либо 3 партии и никто из бельчат не играл друг с другом дважды. Возможно ли, что никакие два бельчонка, сыгравшие по 3 партии, не играли между собой?