Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант
дата проведения: 10 марта 2019
Задача 4.
В остроугольном треугольнике $ABC$ проведены высоты $CK$ и $AM$. Через вершину $A$ проведена прямая, параллельная высоте $KC$, а через вершину $C$ проведена прямая, перпендикулярная $KC$, точка пересечения этих прямых обозначена $D$. Найдите величину угла $KMD$.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 90°.
Решение:
Поскольку $AKCD$ – прямоугольник, около него можно описать окружность. $АС$ является диаметром этой окружности, так как на $AC$ опирается прямой угол $ADC$. Докажем, что точка $M$ принадлежит данной окружности.
По условию угол $AMC$ прямой, и он также опирается на диаметр $AC$, если бы точка $M$ лежала внутри окружности, угол $AMC$ был бы тупым, а если вне – острым. Тогда угол $KMD$ – прямой, так как точка $M$ лежит на окружности, а $KD$ – диаметр этой окружности.
