Ответ: 50 пар.
Решение:
Приведем уравнение к виду , и разложим на множители: . Каждое решение соответствует разложению числа на два множителя, причём достаточно рассматривать только положительные множители. Если один из множителей, например, , то , и не удовлетворяет уравнению. Поэтому уравнение будет иметь столько же решений, сколько имеется натуральных делителей у числа .
Пусть , , . Заметим, что нельзя разложить в произведение двух нечётных чисел, и только один множитель из (, ) может быть нечётным. Разложим на простые множители: . Произвольный делитель имеет вид , где может принимать значения {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, – значения {0, 1, 2, 3, 4}, – значения {0, 1, 2, 3, 4}. Однако одно из чисел , , а значит, и из чисел , , должно быть нечётным. Значит, в равенстве первый множитель должен содержать степень 2, равную 0 (тогда первый множитель нечётен), или равную 6 (тогда все степени двойки входят в первый множитель , и является нечётным числом). Поэтому может принимать только значения {0, 6}, и всего пар делителей (, ), , удовлетворяющих условию, . Если нечётно, то и – нечётное число. Если нечётно, то и — нечётное число.