<< к заданиям
Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 2 вариант
дата проведения: 10 марта 2019

Задача 5.

Сколько пар натуральных чисел (x, y), хотя бы одно из которых нечётно, удовлетворяет уравнению 1x+1y=13528?


Ответ на Задачу 5.

Ответ: 50 пар.

Решение:

Приведем уравнение к виду xy3528x3528y=0, и разложим на множители: (x3528)(y3528)=35282. Каждое решение соответствует разложению числа N=35282 на два множителя, причём достаточно рассматривать только положительные множители. Если один из множителей, например, x3528<0, то x<3528, и не удовлетворяет уравнению. Поэтому уравнение будет иметь столько же решений, сколько имеется натуральных делителей у числа N.

Пусть N=nm, n=x3528, m=y3528. Заметим, что 35282 нельзя разложить в произведение двух нечётных чисел, и только один множитель из (n, m) может быть нечётным. Разложим N на простые множители: N=35282=263474. Произвольный делитель N имеет вид 2a3b7c, где a может принимать значения {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, b – значения {0, 1, 2, 3, 4}, c – значения {0, 1, 2, 3, 4}. Однако одно из чисел x, y, а значит, и из чисел n=x3528, m=y3528, должно быть нечётным. Значит, в равенстве N=nm первый множитель n должен содержать степень 2, равную 0 (тогда первый множитель нечётен), или равную 6 (тогда все степени двойки входят в первый множитель n, и m является нечётным числом). Поэтому a может принимать только значения {0, 6}, и всего пар делителей (n, m), N=nm, удовлетворяющих условию, 255=50. Если n нечётно, то и x=n+3528 – нечётное число. Если m нечётно, то и y=m+3528 — нечётное число.