Олимпиада «Бельчонок», 9 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант
дата проведения: 3 марта 2019
Задача 4.
В квадрате $ABCD$ через точку $E$, лежащую на стороне $AB$, проведена прямая, параллельная стороне $AD$. Точка пересечения этой прямой и стороны $CD$ обозначена $F$. Из точки $A$ на $BF$ опущен перпендикуляр $AM$. Найдите величину угла $EMD$.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 90°.
Решение:
Поскольку $AEFD$ – прямоугольник, около него можно описать окружность. $AF$ является диаметром этой окружности, так как на $AF$ опирается прямой угол $ADF$. Докажем, что точка $M$ принадлежит данной окружности.
По условию угол $AMF$ прямой, и он также опирается на диаметр $AF$, если бы точка $M$ лежала внутри окружности, угол $AMF$ был бы тупым, а если вне – острым. Тогда угол $EMD$ – прямой, так как точка $M$ лежит на окружности, а $ED$ – диаметр этой окружности.
