Ответ: 75 пар.

Решение:

Приведем уравнение к виду $xy − 1764x − 1764y = 0$, и разложим на множители: $(x − 1764)(y − 1764) = 1764^2$. Каждое решение соответствует разложению числа $N = 1764^2$ на два множителя, причём достаточно рассматривать только положительные множители. Если один из множителей, например, $x − 1764<0$, то $x<1764$, и не удовлетворяет уравнению. Поэтому уравнение будет иметь столько же решений, сколько имеется натуральных делителей у числа $N$.

Пусть $N = n\cdot m$ ($n = x − 1764$, $m = y − 1764$). Заметим, что $1764^2$ нельзя разложить в произведение двух нечётных чисел, и только один множитель из ($n$, $m$) может быть нечётным. Поэтому достаточно найти число представлений $N$ в виде произведения чётных множителей. Разложим $N$ на простые множители: $N = 1764^2 = 2^4\cdot3^4\cdot7^4$. Произвольный делитель $N$ имеет вид $2^a\cdot3^b\cdot7^c$, где $a$, $b$, $c$ могут принимать значения {0, 1, 2, 3, 4}.

Найдём число пар счетными $x$, $y$. Поскольку числа $n = x − 1764$ и $x$, $m = y − 1764$ и $y$ имеют одинаковую чётность, будем искать число способов разложения $N$ на два чётных множителя. В равенстве $N = n\cdot m$ первый множитель $n$ должен содержать степень 2, отличную от 0 и от 4 (иначе второй делитель являлся бы нечётным числом). Поэтому $a$ может принимать только значения {1, 2, 3}, и всего пар чётных множителей 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 75.