Задача 5.
В лесу живут бельчата-правдивцы и бельчата-лжецы, правдивцы всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут. Однажды на поляне собрались 2037 бельчат и встали в круг. Каждого из них попросили назвать своего правого соседа, и каждый ответил либо «правдивец», либо «лжец». Могло ли оказаться, что ответов «правдивец» было ровно 2020?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: Не могло.
Решение:
Рассмотрим пару рядом стоящих и будем считать только то, что сказал левый сосед. Тогда в этой паре левый бельчонок мог сказать «правдивец» в случае только, если пара ПП или ЛЛ. Аналогично левый мог сказать «лжец» только в случаях ЛП и ПЛ. Таким образом, количество ответов «лжец» равно количеству смешанных пар. Множество всех бельчат в круге разбивается на области одного типа П…П и Л…Л. И смешанные пары могут быть только на границе этих областей. Следовательно, количество смешанных пар в точности равно количеству областей. Но количество областей не может быть нечётным, поскольку области правдивцев и лжецов чередуются. Поэтому сказать «лжец» могли только чётное число бельчат. Если всего опросили 2037 бельчат, а «правдивец» сказали 2020, значит, «лжец» сказали 17. Но это нечётное число, а, как было доказано выше, такого быть не может.
