Задача 2.
Квадратный трёхчлен $x^2 + 3 p x + p$ имеет корни $u$ и $v$, а квадратный трёхчлен $x^2 - 4 q x + q$ имеет корни $\frac{1}{u}$ и $\frac{1}{v}$. Найдите $p$ и $q$.
Ответ на Задачу 2.
Ответ: $p = - \frac{4}{3}, q = - \frac{3}{4}$.
Решение:
По условию $u$ и $v$ — корни трёхчлена $x^2 + 3 p x + p$. Тогда по теореме Виета $u v = p$ и $u + v = - 3 p$.
По условию $\frac{1}{u}$ и $\frac{1}{v} $ — корни трёхчлена $x^2 − 4 q x + q$. Тогда по теореме Виета $\frac{1}{u v} = q$ и $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = 4 q$, откуда
$ p q = u v \cdot \frac{1}{u v} = 1 $ и $ 4 q = \frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{u + v}{u v} = - \frac{3 p}{p} = - 3 $
Стало быть, $q = - \frac{3}{4}$ и $p = \frac{1}{q} = - \frac{4}{3}$. Поскольку свободные члены найденных трёхчленов отрицательны, оба трёхчлена имеют по два корня.
