Существует ли прямоугольный параллелепипед, все стороны которого выражаются целыми числами, а площадь его поверхности численно равна сумме длин всех его рёбер?

Квадратный трёхчлен $x^2 + 3 p x + p$ имеет корни $u$ и $v$, а квадратный трёхчлен $x^2 - 4 q x + q$ имеет корни $\frac{1}{u}$ и $\frac{1}{v}$. Найдите $p$ и $q$.

Серединные перпендикуляры к диагоналям $K M$ и $L N$ выпуклого четырёхугольника $K L M N$ пересекают прямую $L M$ в точках $P$ и $Q$ соответственно ($P$ лежит на продолжении отрезка $L M$ за точку $L$, а $Q$ — за точку $M$). Оказалось, что $K P \| N Q$. Докажите, что $L N \perp K M$.

Сумма двух целых чисел равна 100, и сумма двух других целых чисел тоже равна 100. Числа в первой паре перемножили и сложили с произведением чисел во второй паре. Могла ли сумма этих двух произведений равняться 1001?

Шесть команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по разу. За ничью начислялось 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Шесть команд набрали соответственно 10, 7, 6, 6, 3 и 3 очков. Сколько очков (не обязательно целое число) начислялось за победу?