Задача 4.
Сумма двух целых чисел равна 100, и сумма двух других целых чисел тоже равна 100. Числа в первой паре перемножили и сложили с произведением чисел во второй паре. Могла ли сумма этих двух произведений равняться 1001?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: Не могла.
Решение:
Предположим, что сумма произведений могла равняться 1001. Сумма двух чисел (в данном случае — этих произведений) может быть нечётной, только когда одно из них чётно, а другое — нечётно. Значит, одно из произведений чётно, а другое нечётно.
Если сумма двух чисел равна 100, а их произведение нечётно, то оба числа должны быть нечётными, при этому одно из них должно давать остаток 1 при делении на 4, а другое — остаток 3 при делении на 4. Тогда остаток от деления их произведения на 4 равен 1 ⋅ 3 = 3.
Если сумма двух чисел равна 100, а их произведение чётно, то оба числа должны быть чётными. Тода их произведение даёт остаток 0 при делении на 4. Таким образом, сумма двух произведений будет дават остаток 3 при делении на 4. Получили противоречие, так как 1001 даёт остаток 1 при делении на 4.
