Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант
дата проведения: 5 марта 2022
Задача 2.
Квадратный трёхчлен $p x^2 + q x + r$ имеет два корня. Докажите, что трёхчлен $3 p x^2 + 2(p + q) x + (q + r)$ также имеет два корня.
Ответ на Задачу 2.
Решение:
По условию дискриминант первого трёхчлена положителен: $q^2 - 4 p r>0$.
Рассмотрим дискриминант второго трёхчлена:
$$ \begin{gathered} 4(p + q)^2 − 4 \cdot 3 p(q + r) = 4\left(p^2 + 2 p q + q^2 − 3 p q − 3 p r\right) = \\ = 4 p^2 − 4 p q + 4 q^2 − 12 p r>4 p^2 − 4 p q + q^2 = (2 p − q)^2 \geq 0 \end{gathered} $$
Он положителен, следовательно, у второго трёхчлена также есть два корня.
