Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 3 вариант
дата проведения: 5 марта 2022
Задача 3.
Известно, что в трапеции $K L M N$ боковая сторона $K L$ равна основанию $L M$. Точки $P$ и $Q$ — середины оснований $K N$ и $L M$ соответственно, причём точка $P$ лежит на биссектрисе угла $L$. Докажите, что $L N = 2 P Q$.
Ответ на Задачу 3.
Решение:
Пусть $Q_1$ – середина $K L$. Треугольники $L P Q$ и $L P Q_1$ равны по двум сторонам и углу ($\angle P L Q = \angle P L Q_1$, $L Q = L Q_1$ как половины равных отрезков $L K$ и $L M$, сторона $L P$ общая). Значит, $P Q_1 = P Q$. Но $P Q_1 − $ средняя линия в треугольнике $K L N$. Значит, $2 P Q_1 = L N$.
