Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант
дата проведения: 5 марта 2022
Задача 2.
Квадратный трёхчлен $x^2 + u x − v$ имеет различные ненулевые корни $p$ и $q$, а квадратный трёхчлен $x^2 + p x − q$ – различные ненулевые корни $u$ и $v$. Найдите всевозможные значения $p$, $q$, $u$ и $v$.
Ответ на Задачу 2.
Ответ: $p = −1$, $q = 2$, $u = −1$, $v = 2$.
Решение:
Применив к обоим уравнениям теорему Виета, составим систему уравнений:
$$ \left\{\begin{array}{l} p + q = − u, \\ u + v = − p, \\ p q = − v, \\ u v = − q . \end{array}\right. $$
Вычитая из первого уравнения второе, после сокращения получаем: $q = v$. Подставив $q$ вместо $v$ в третье и четвёртое уравнения и сократив на $q \neq 0$, получаем, что $p = u = − 1$. Теперь из первых двух уравнений находим $q = v = 2$.
