Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 4 вариант
дата проведения: 5 марта 2022
Задача 3.
В трапеции $K L M N$ основание $L M$ в два раза короче $K N$. Внутри трапеции отмечена такая точка $O$, что $K L = O L$. Докажите, что прямая, соединяющая точку $M$ с серединой отрезка $O N$, перпендикулярна $O K$.
Ответ на Задачу 3.
Решение:
Пусть $P$ – середина $O N$, $Q$ – середина $K O$. Отрезок $Q P$ – средняя линия треугольника $K O N$, поэтому $Q P\|K N\| L M$ и $Q P = \frac{1}{2} K N = L M$. Следовательно, $Q L M P$ – параллелограмм и $L Q \| M P$. С другой стороны, отрезок $L Q$ является медианой равнобедренного треугольника $K L O$, поэтому $L Q \perp K O$. Таким образом $M P \perp K O$.
