Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2022 год, 2 этап, 1 вариант
дата проведения: 5 марта 2022
Задача 2.
Оба корня квадратного трёхчлена $x^2 + p x + q$ увеличили на 3, после чего получились корни трёхчлена $x^2 − 2 p x − q$. Найдите $p$ и $q$.
Ответ на Задачу 2.
Ответ: $p = 2$, $q = - \frac{3}{2}$.
Решение:
Пусть $u$ и $v$ — корни трёхчлена $x^2 + p x + q$. Тогда по теореме Виета $u + v = - a$ и $u v = b$. По условию $u + 3$ и $v + 3$ — корни трёхчлена $x^2 − 2 p x − q$. Тогда по теореме Виета:
$$ 2 p = (u + 3) + (v + 3) = u + v + 6 = 6 − p $$
$$ - q = (u + 3)(v + 3) = u v + 3(u + v) + 9 = q - 3 p + 9 $$
Следовательно, $ p = 2 $ и $ 2 q = 3 p - 9 = - 3 $, откуда $q = - \frac{3}{2}$.
Поскольку полученное $q$ отрицательно, у найденного трёхчлена $x^2 + $ $p x + q$ есть два корня.
