Существует ли прямоугольный параллелепипед, все стороны которого выражаются целыми числами, а объём численно равен его площади поверхности?

Оба корня квадратного трёхчлена $x^2 + p x + q$ увеличили на 3, после чего получились корни трёхчлена $x^2 − 2 p x − q$. Найдите $p$ и $q$.

Серединные перпендикуляры к диагоналям $L N$ и $K M$ выпуклого четырёхугольника $K L M N$ пересекают сторону $K N$ в точках $P$ и $Q$ соответственно ($P$ лежит между $K$ и $Q$). Оказалось, что $L P \| M Q$. Докажите, что $L N \perp K M$.

Числа 1, 2, 3, ... , 9, 10 записали в ряд в произвольном порядке, и посчитали следующие суммы: первая сумма S₁ равняется первому числу, вторая сумма S₂ равняется сумме первого и второго чисел, S₃ равняется сумме первого, второго и третьего чисел, и т.д. Последняя сумма S₁₀ равняется сумме всех чисел. Какое наибольшее возможное количество простых чисел может оказаться среди сумм S₁, S₂, ... , S₁₀?

Шесть команд провели турнир – каждая команда сыграла с каждой по разу. За ничью начислялось 1 очко, за проигрыш очков не давалось. Шесть команд набрали соответственно 12, 10, 9, 8, 7 и 6 очков. Сколько очков (не обязательно целое число) начислялось за победу?