Задача 3.
Серединные перпендикуляры к диагоналям $L N$ и $K M$ выпуклого четырёхугольника $K L M N$ пересекают сторону $K N$ в точках $P$ и $Q$ соответственно ($P$ лежит между $K$ и $Q$). Оказалось, что $L P \| M Q$. Докажите, что $L N \perp K M$.
Ответ на Задачу 3.
Решение:
Серединный перпендикуляр к диагонали $L N$ (проходящий через точку $P$) является биссектрисой угла $L P N$. Аналогично, второй серединный перпендикуляр — биссектриса угла $K Q M$. Из параллельности прямых $L P$ и $M Q$ следует, что эти серединные перпендикуляры перпендикулярны друг другу. Действительно, $\angle L P Q + \angle P Q M = 180^{\circ}$, так как $L P \| M Q$.
Пусть $O$ — точка пересечения этих перпендикуляров, тогда $\angle O P Q + \angle P Q O = $ $90^{\circ}$, а значит, $\angle P O Q = 90^{\circ}$, т.е. $O P \perp O Q$. Ну а раз перпендикуляры к диагоналям перпендикулярны, то и сами диагонали $K M$ и $L N$ тоже перпендикулярны.
