Международный конкурс по математике Кенгуру, 7-8 класс, 2013 год
дата проведения: 21 марта 2013
Задача 25.
Пусть S — число точных квадратов, а Q — число точных кубов среди целых чисел от 1 до 20136. Тогда
(А) Q = 2013S
(Б) 2S = 3Q
(В) 3S = 2Q
(Г) S3 = Q2
(Д) S = 2013Q
Ответ на Задачу 25.
Ответ: Д
Решение:
Очевидно, что в промежутке от 1 до N2 содержатся лишь такие точные квадраты: 12, 22, …, (N − 1)2, N2.
То есть число точных квадратов в промежутке от 1 до N2 равно N.
Аналогично, число точных кубов в промежутке от 1 до N3 равно N.
Поэтому:
Число точных квадратов S = $\sqrt{2013^6}$ = 20133
Число точных кубов Q = $\sqrt[3]{2013^6}$ = 20132
Итого: S = 2013⋅Q
