Задача 27.
Алиса выписала все целые числа от 1 до 25 включительно. Теперь она хочет стереть некоторые из них, а затем разделить оставшиеся числа на две группы так, чтобы произведения чисел в обеих группах были равны. Какое наименьшее количество чисел может стереть Алиса?
(А) 4
(Б) 5
(В) 6
(Г) 7
(Д) 8
Ответ на Задачу 27.
Ответ: Б
Решение:
Если рассматривать простые факторизации произведений чисел обеих групп, то они должны быть одинаковыми, поскольку произведения равны. Поэтому простые числа, у которых среди чисел от 1 до 25 имеется только одно кратное, необходимо удалить. Эти простые числа — 13, 17, 19 и 23. 7 имеет три кратных среди чисел от 1 до 25: 7, 14 и 21. Хотя бы одно из них необходимо удалить, что работает только при удалении 7. Остальные 20 чисел можно разделить на две группы, имеющие одинаковое произведение. Например: 3⋅5⋅8⋅14⋅15⋅18⋅20⋅22⋅24 = 2⋅4⋅6⋅9⋅10⋅11⋅12⋅16⋅21⋅25 = 211⋅35⋅53⋅7⋅11.
