Задача 2.
Арсений выписал три натуральных числа, сумма которых равна 180, и заметил, что все выписанные числа — двузначные или трёхзначные, и в записи каждого использована одна и та же пара цифр. Найдите все такие тройки чисел.
Ответ на Задачу 2.
Может быть лишь два варианта: 2-значное, 2-значное, 2-значное и 2-значное, 2-значное, 3-значное. Если три двузначных, то минимум два числа из них будут равны. Если равны все три, то очевидно, что тройка 60, 60, 60. Если же нет, то обозначим одну цифру 𝑎, вторую 𝑏. Известно, что 2𝑎 + 𝑏 должно оканчиваться на ноль. Подходят пары 1 и 8, 2 и 6, 3 и 4, 4 и 2, 5 и 0, 6 и 8, 7 и 6, 8 и 4, 9 и 2. Перебором из них получаются лишь варианты чисел 81, 81, 18 и 48, 48, 84. Теперь рассмотрим вариант с трёхзначным числом. Очевидно, что первая цифра трёхзначного числа 1, так как иначе сумма больше 200. Значит, в двузначном числе есть цифра 1 и ещё какая-то цифра 𝑎. Перебирается три варианта: когда трёхзначное число 1𝑎𝑎, 1𝑎1 и 11𝑎. Подходящих вариантов нет. Значит, всего существует три такие тройки.
