В однокруговом футбольном турнире участвуют четырнадцать команд. Могло ли после окончания турнира оказаться, что у каждой команды количество ничьих равно количеству поражений?

Арсений выписал три натуральных числа, сумма которых равна 180, и заметил, что все выписанные числа — двузначные или трёхзначные, и в записи каждого использована одна и та же пара цифр. Найдите все такие тройки чисел.

Калькулятор «Зеленый остров» умеет выполнять две операции: вычитать из числа единицу или записывать цифры числа в обратном порядке, причём вторая операция разрешена только тогда, когда последняя цифра числа не равна нулю. За какое наименьшее число операций можно с помощью «Зелёный остров» из числа 100 получить число 1?

В царстве гномов есть столица и города. Из столицы выходит одна дорога, из остальных городов выходит по три дороги. Одна дорога соединяет два разных города. Король гномов хочет распределить дороги между пожарными, милиционерами и докторами так, чтобы на каждой дороге дежурил ровно один человек и чтобы на трёх дорогах из одного города дежурили три разных специалиста. Докажите, что у Короля ничего не получится.

В классе 20 человек. Никакие три девочки не дружат с одинаковым числом мальчиков. Какое наибольшее количество девочек может быть в классе?