Задача 3.
В интернате 10 жилых комнат. Жители этих комнат просыпаются по очереди. Если дверь их комнаты на месте, то они снимают дверь какой-то другой из этих комнат и уносят её в подвал. Если же дверь их комнаты унесена, то они забирают из подвала любую дверь и вешают её на место своей. Какое наибольшее количество дверей могло оказаться в подвале после того, как все проснулись?
Ответ на Задачу 3.
Заметим, что каждый проснувшийся житель меняет чётность количества дверей в подвале. Значит, после 10 проснувшегося жителя количество дверей в подвале будет чётным. Если первым проснулся житель комнаты 𝐴 и снял дверь с комнаты 𝐵, то, когда проснется человек 𝐵, количество дверей в подвале уменьшится на 1. Таким образом, все 10 дверей не могут оказаться в подвале, а значит, там будет не более 8 дверей. Пусть жильцы просыпаются, например, в таком порядке: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10; и относят в подвал двери в таком: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Последний просыпается житель комнаты № 1 и приносит себе дверь из подвала.
