Задача 4.
Коля составил из фигурок L-тетрамино и симметричных пятиклеточных уголков прямоугольник 6×11, но потом одну из фигурок потерял. Докажите, что из оставшихся фигурок, использовав их все, не получится составить прямоугольник. (Фигурки можно поворачивать, переворачивать, но нельзя накладывать друг на друга.)
Ответ на Задачу 4.
Прямоугольник 6 × 11 состоит из 66 клеток.
Если потерялся пятиклеточный уголок, то суммарная площадь оставшихся уголков равна 61 клетке. Так как число 61 простое, то из этих уголков можно сложить лишь прямоугольник 1 × 61. Но это невозможно, так как в прямоугольник 1 × 61 не влезет ни один из уголков.
Если потерялся четырёхклеточный уголок, то суммарная площадь оставшихся уголков равна 62 клеткам. Так как 62 = 2 · 31, а числа 2 и 31 — простые, то из оствшихся уголков можно сложить только прямоугольник 1 × 62 или прямоугольник 2 × 31. Заметим, что прямоугольник площади 62 невозможно сложить только из четырёхклеточных уголков, поскольку 62 не делится на 4. Значит, обязательно придётся использовать пятиклеточные уголки. Но это невозможно, так как ни в прямоугольник 1 × 62, ни в прямоугольник 2 × 31 пятиклеточный уголок не помещается.
