Задача 5.
В колонию, состоящую из 200 бактерий, попадает один вирус. В первую минуту он уничтожает одну бактерию, затем делится на два новых вируса, и одновременно каждая из оставшихся бактерий тоже делится на две новые. В следующую минуту возникшие два вируса уничтожают две бактерии, и затем оба вируса и все оставшиеся бактерии снова делятся и так далее. Будет ли эта колония жить бесконечно долго? Если она в конце концов погибнет, то через какое время это произойдёт?
Ответ на Задачу 5.
Поскольку и вирусы, и бактерии делятся пополам, можно считать, что у каждого вновь образовавшегося вируса «своя» вновь образовавшаяся колония бактерий (все колонии одинаковые). У первого вируса в «его» колонии сначала было 200 бактерий, и каждую минуту он уничтожал по одной бактерии (каждую минуту при этом появлялись новые вирусы вместе со своими колониями). Значит, этот вирус ровно за двести минут уничтожил всех «своих» бактерий, а поскольку во всех колониях в любой момент времени одинаковое количество бактерий, то через двести минут бактерий не останется вовсе.
Другое решение: Можно доказать методом математической индукции, что через 𝑘 минут, останется 2𝑘⋅(𝑛 − 𝑘) бактерий. Тогда ясно, что через 𝑛 минут колония погибнет.
