Осенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, высшая лига, 3 тур
дата проведения: 30 октября 2018
источник: https://moebiustour.ru/archive/tour2
Задача 4.
Восемь школьников бросали снежки по восьми окнам. Оказалось, что в каждое окно попали хотя бы пять школьников. Докажите, что есть два школьника, вмести попавшие по всем окнам.
Ответ на Задачу 4.
Берём самого меткого школьника, он попал в не меньше, чем 5 окон. Докажем, что из остальных семи школьников найдётся такой, который попал в остальные 3 окна. Допустим, что это не так. Тогда каждый из семи попал в не более, чем два окна из оставшихся, т. е. на всех было не более 7 · 2 = 14 попаданий по трём окнам. Но в каждое окно попали не менее пяти раз, значит в три окна должны были попасть не менее 3 · 5 = 15 раз. Противоречие.