Задача 2.
Назовем два натуральных числа двойниками, если суммы их цифр равны друг другу и произведения их цифр также равны друг другу (например, 46 и 2143 — двойники). Найдите все числа, у которых нет двойников.
Ответ на Задачу 2.
2 и числа, состоящие из одинаковых цифр 1, 3, 5 и 7. Если в числе не все цифры одинаковые и на конце не ноль, то двойником будет число, записанное этими же цифрами в обратном порядке. Если же число оканчивается на ноль, то двойником будет число, получившееся из данного добавлением нуля справа. Рассмотрим теперь числа из одинаковых цифр. Если эти цифры 4, 6 или 8, то заменяем каждую из них на 22, 321 и 4211 соответственно. Если же эта цифра 2 и она повторяется больше одного раза, то каждые две подряд идущие двойки можно заменить на 4. Предположим, однозначные простые и единица имеют двойников. Тогда произведение цифр равно самому числу, а сумма состоит хотя бы из двух слагаемых, которые, получается, могут быть только единица и число, значит, сумма больше произведения. Противоречие. Рассмотрим числа, состоящие только из 1, 3, 5, 7 (не меньше 2 цифр). Тогда число-двойник может состоять из этой же цифры и единицы. Но если заменить хоть одну цифру на единицу, то сумма уменьшится, а если все единицы, то число задаётся однозначно.
