Задача 8.
В 10 мешках находится ровно 1000 орехов, при этом в каждом мешке их разное количество. В какой-то момент выбирается мешочек, в котором максимум орехов, берутся из него 9 орехов и раскладывается по 1 в каждый из других мешочков. Такая процедура повторяется пока не наступит момент, когда по крайней мере в двух мешочках количество орехов станет одинаковым. Обязательно ли процедура закончится через конечное количество шагов?
Ответ на Задачу 8.
Обозначим через 𝑀 — разность между числом орехов в мешочке с максимальным количеством и минимальным. Если 𝑀 ≤ 9, то по принципу Дирихле найдутся два мешочка с одинаковым числом орехов. Так же 𝑀 ≠ 10, поскольку при такой разнице число орехов в каждом мешочке на 1 больше, чем в предыдущем. Поэтому 5 мешочков содержат чётное количество орехов и ещё 5 — нечётное. Но тогда в них не может быть ровно 1000 орехов. При каждой процедуре значение 𝑀 уменьшается на величину от 1 до 10. Таким образом, в определенный момент она станет в пределах от 1 до 9.
