<< к заданиям
Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2018 год, первая лига, 3 тур
дата проведения: 18 февраля 2018

Задача 6.

У Арнольда есть 27 пакетов с сахаром весом 1 кг, 2 кг, . . . , 27 кг. Он их разложил на кучки, в каждой из которых самый тяжёлый пакет весит столько же, сколько и все остальные вместе. Найдите число кучек.


Ответ на Задачу 6.

Так как все веса разные, то в кучке не может быть 2 камня. Наибольшее число кучек 27 : 3 = 9. Так же ни в какой кучке не может быть больше двух пакетов, массы которых в кг равны от 14 до 27, тогда кучек не менее (27 − 14 + 1) : 2 + 1 = 8. Пусть кучек 8. Самые тяжёлые пакеты из кучек по условию составляют половину массы всех пакетов, их масса равна 27 · 28 : 2 : 2 = 189 кг. Но 8 самых тяжёлых пакета дают в сумме 20 + 21 + · · · + 27 = 188. Значит кучек могло быть только 9; например, (1 8 9), (2 23 25), (3 21 24), (4 18 22), (5 15 20), (6 13 19), (7 10 17), (11 16 27), (12 14 26).