Задача 3.
В классе 24 мальчика и 25 девочек (класс большой). На 8 марта каждый мальчик послал несколько смс-сообщений девочкам с поздравлением (каждый мальчик поздравляет любую девочку не более 1 раза). При этом каждый мальчик поздравил менее половины девочек, но все мальчики послали одно и то же количество сообщений. Докажите, что найдутся 2 девочки, которые получили одно и то же количество поздравлений.
Ответ на Задачу 3.
Девочка не может получить более 24 сообщений, так как мальчиков всего 24. Будем решать от противного, пусть все девочки получили попарно различное число сообщений, упорядочим девочек по возрастанию числа полученных сообщений. Первая в этом ряду получит 0 сообщений, вторая — 1 сообщение, . . . , 25-я девочка получит 24 сообщения. Сколько всего сообщений он получат? 0 + 1 + 2 + . . . + 24 = 300. Сколько же сообщений могут отправить мальчики? Поскольку каждый поздравил менее половины девочек, то есть не более 12; тогда мальчиками отправлено не более 24 · 12 = 288 сообщений, что меньше 300. Противоречие.
