Весенний математический Турнир Мёбиуса, 5 класс, 2019 год, высшая лига, 6 тур
дата проведения: 20 февраля 2019
источник: https://moebiustour.ru/archive/tour3
Задача 7.
Никита написал в ряд на доске 90 трёхзначных чисел (не обязательно разных) таких, что первое число в ряду делится на 10, второе — на 11, третье — на 12, . . . , девяностое — на 99. Докажите, что для записи этих трёхзначных чисел использовано более трёх различных цифр.
Ответ на Задачу 7.
Так как первое число делится на 10, то в его записи есть цифра 0. Посмотрим, какие есть числа, кратные 99: 198, 297, 396, 495, 594, 693, 792, 891, 990. Если использовано число не 990, то 4 разные цифры найдены. Допустим использовано число 990. Посмотрим на числа кратные 84: 168, 252, 336, 420, 504, 588, 672, 756, 840, 924. Одно из них придётся использовать. Но в любом из них есть ещё 2 новые цифры.
