10 школьников вечером звонили друг другу, никакие два школьника не разговаривали более 1 раза, при этом Ипполит (один из этих 10 школьников) имел разговоров меньше, чем кто-либо другой из этой компании, всего лишь четыре. Докажите, что найдутся 3 школьника, которые попарно разговаривали друг с другом, то есть каждый из них разговаривал с каждым из остальных.

В цветочном городе живёт 100 коротышек. Коротышки часто ходят друг к другу в гости. Когда коротышка А идёт в гости к коротышке Б, то, если оказывается, что в этом месяце никто из них не был в гостях у другого, тогда он обязательно приносит с собой в подарок один из своих комнатных цветов. В начале апреля у всех коротышек дома было ровно по 100 комнатных цветов, а к концу апреля оказалось, что каждый коротышка сходил в гости к каждому коротышке. Докажите, что хотя бы у одного коротышки в конце апреля стало дома больше 100 комнатных цветов.

Есть 7 монет: 3 настоящие (они весят одинаково) и 4 фальшивые (они все весят одинаково, но отличаются по весу от настоящих; при этом непонятно в какую сторону). По виду все монеты неразличимы. Как за 3 взвешивания на чашечных весах без гирь хотя бы про какую-то монету выяснить: фальшивая она или настоящая?

Никита написал в ряд на доске 90 трёхзначных чисел (не обязательно разных) таких, что первое число в ряду делится на 10, второе — на 11, третье — на 12, . . . , девяностое — на 99. Докажите, что для записи этих трёхзначных чисел использовано более трёх различных цифр.