Задача 8.
Прямоугольник 10 × 40 разрезали на Г-тетрамино. Докажите, что найдётся прямая линяя, идущая по линиям сетки, которая разрезает хотя бы 3 фигурки Г-тетрамино на 2 доминошки размером 1 × 2.
Ответ на Задачу 8.
Посмотрим на линии сетки, которые проходят через весь прямоугольник и разрезают его на 2 других прямоугольников. Всего у прямоугольника 10×40 есть (10−1)+(40−1) = 9+39 = 48 линий. Для каждой фигуры Г-тетрамино существует ровно 1 линия, которая разрезает его на 2 доминошки. Предположим противное, то есть каждая линия пересекает меньше 3 фигурок Г-тетрамино, тогда для каждой линии существует не более двух фигурок Г-тетрамино, которые разрезаются этой линией на 2 доминошки. Тогда всего количество фигурок Г-тетрамино на доске не должно превосходить удвоенного количества линий, то есть 48 · 2 = 96, но, напомним, для каждой фигуры Г-тетрамино существует такая линия, а фигурок разбиения всего 10·40 : 4 = 100, что больше 96. Противоречие, значит, действительно найдётся линия, которая разрезает не менее 3 фигурок Г-тетрамино на доминошки.
