Задача 2.
Из клетчатого прямоугольника по линиям сетки можно вырезать 3700 трёхклеточных уголков. Докажите, что из точно такого же прямоугольника можно вырезать хотя бы 1000 прямоугольников размером 1 × 11.
Ответ на Задачу 2.
Площадь исходного прямоугольника не менее 3700 · 3 = 11 100 клеток. Пусть он имеет размеры 𝑀 × 𝑁 . Разделим длины его сторон с остатком на 11: 𝑀 = 11𝑎 + 𝑥, 𝑁 = 11𝑏 + + 𝑦. Разделим наш прямоугольник на 4 прямоугольника: 11𝑎 × 11𝑏, 11𝑏 × 𝑥, 11𝑎 × 𝑦, 𝑥 × 𝑦. Очевидно, что прямоугольник, сторона которого делится на 11, мы можем разрезать полностью на прямоугольники 1 × 11. Значит, из 4 прямоугольников разбиения мы не сможем полностью разрезать на прямоугольники 1 × 11 только прямоугольник размерами 𝑥 на 𝑦. Какова его площадь? Не более 100 клеточек, ведь 𝑥 и 𝑦 — это остатки от деления на 11, а они не превосходят 10, поэтому 𝑥·𝑦 ≤ 10·10 = 100. Значит, из 11100 клеток доски не принадлежать прямоугольникам 1 × 11 могут не более 100 клеток, тогда оставшиеся клетки принадлежат прямоугольникам, а их хотя бы 11100 − 100 = 11000, тогда прямоугольников хотя бы 11000 : 11 = 1000. Что и требовалось доказать.
