Ответ на задачу: Решить уравнение x^2-x y-2 x+3 y=10 в целых числах.

Открытая интернет-олимпиада по математике Меташколы, 9 класс, 2020 год, 1 этап

дата проведения: 26 октября 2020

Решить уравнение $x^{2} - x y - 2 x + 3 y = 10$ в целых числах.

Ответ: $(10, 10)$ ; $(- 4, - 2)$ ; $(4, - 2)$ ; $(2, 10)$ .

Решение:

$x^{2} - x y - 2 x + 3 y = 10$

Выразим в данном уравнении $y$ через $x$ :

$y (3 - x) = 10 + 2 x - x^{2}$ ,

$y = \frac{x^{2} - 2 x - 10}{x - 3} = \frac{x^{2} - 2 x - 3 - 7}{x - 3} = \frac{(x - 3) (x + 1) - 7}{x - 3} = x + 1 - \frac{7}{x - 3}$

Из полученного равенства видно, что дробь $\frac{7}{x - 3}$ должна быть целым числом. Это возможно, когда $x - 3$ принимает значения ±7 и ±1.

Разбирая четыре случая, находим все пары $(x, y)$ , удовлетворяющие данному уравнению: $(10, 10)$ ; $(- 4, - 2)$ ; $(4, - 2)$ ; $(2, 10)$ .