Задача 5.
При каких значениях $m$ уравнение $\displaystyle \frac{2 x^2+3 x+m}{x+m}=0$ имеет ровно один корень?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: $0$; $1$; $\displaystyle \frac{9}{8}$
Решение:
Исходное уравнение $\displaystyle \frac{2 x^2+3 x+m}{x+m}=0$.
При $x \neq-m$, $2 x^2+3 x+m=0$, $D=9 − 8 m$.
- $D=0$, $\displaystyle m=\frac{9}{8}$. Выполняется условие $x \neq-m$. Исходное уравнение имеет один корень.
- $D>0$, $\displaystyle m<\frac{9}{8}$. Квадратное уравнение $2 x^2+3 x+m=0$ имеет два корня.
Выясним, при каких значениях параметра $m$ один из корней квадратного уравнения будет посторонним для исходного уравнения, т.е. $x=-m$.
Подставим в квадратное уравнение вместо $x$ число $-m$. Получим
$2(-m)^2+3(-m)+m=0$,
$2 m^2 − 3 m+m=0$,
$2 m(m-1)=0$,
$m=0$, $m=1$ — удовлетворяют условию $\displaystyle m<\frac{9}{8}$.
Проверка. При $m=0$, $x=0$ (посторонний для исходного уравнения), $\displaystyle x=-\frac{3}{2}$;
при $m=1$, $x=-1$ (посторонний для исходного уравнения), $\displaystyle x=-\frac{1}{2}$.
Таким образом, исходное уравнение имеет один корень при $m=0$, $m=1$, $\displaystyle m=\frac{9}{8}$.
