Пусть $\Omega$ – окружность, описанная около треугольника $A B C$, а точка $O$ – её центр. Окружность $\Gamma$ с центром $A$ пересекает отрезок $B C$ в точках $D$ и $E$ так, что точки $B$, $D$, $E$ и $C$ все различны и лежат на прямой $B C$ в указанном порядке. Пусть $F$ и $G$ – точки пересечения окружностей $\Gamma$ и $\Omega$, при этом точки $A$, $F$, $B$, $C$ и $G$ лежат на $\Omega$ в указанном порядке. Пусть $K$ – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $B D F$, и отрезка $A B$. Пусть $L$ – вторая точка пересечения окружности, описанной около треугольника $C G E$, и отрезка $C A$. Пусть прямые $F K$ и $G L$ различны и пересекаются в точке $X$.

Докажите, что точка $X$ лежит на прямой $A O$.