Последовательность $a_1, a_2, \ldots$ целых чисел удовлетворяет следующим условиям:

1. $1 \leqslant a_j \leqslant 2015$ для всех $j \geqslant 1$;
2. $k+a_k \neq \ell+a_{\ell}$ для всех $1 \leqslant k<\ell$.

Докажите, что существуют два положительных целых числа $b$ и $N$ таких, что $$ \left|\sum_{j=m+1}^n\left(a_j-b\right)\right| \leqslant 1007^2 $$ для всех целых чисел $m$ и $n$, удовлетворяющих условию $n>m \geqslant N$.