Задача 8.
По кругу стоят 2023 ёлки, на них висят красные и зелёные шары, и на каждой ёлке написано, сколько на ней шаров каждого цвета. С каждой ёлки перевесили один шар на соседнюю по часовой стрелке ёлку. Верно ли, что найдётся ёлка, оба числа на которой остались верными?
Ответ на Задачу 8.
Ответ: да, такая ёлка обязательно найдётся.
Решение:
Предположим, что-то не верно, тогда на каждой ёлке теперь хотя бы одно число будет неверным. Заметим, что общее количество шаров на каждой ёлке осталось прежним, т.к. один шар убрали и один добавили. Если с ёлки убрали шар такого же цвета, что и добавили, то оба числа не изменятся. Тогда нам нужно, чтобы с каждой ёлки убрали шар одного цвета, а добавили другого. Пусть, например, с первой ёлки на вторую убрали зелёный шар. Тогда со второй на третью должны убрать красный шар. Тогда с третьей на четвёртую — зелёный. И так далее. С ёлки с нечётным номером мы убираем зелёный шар, а с ёлки с чётным номером убираем красный шар. Тогда с 2023-й ёлки мы убираем зелёный шар и переносим на первую ёлку. Но там тоже убирали зелёный, значит, на первой ёлке количество шаров каждого цвета не изменилось — противоречие. Мы предположили, что на каждой ёлке хотя бы одно число будет неверным. Пришли к противоречию. Значит, хотя бы на одной ёлке оба числа останутся верными.
