Олимпиада «Осенний Олимп», 6 класс, 2015 год, 1 тур
дата проведения: 23 сентября 2015
Задача 1.
Однажды три князя попросили мудреца выяснить, кого из них можно называть Честным, то есть всегда говорящим правду. Вот что выслушал мудрец.
- Первый князь: «Я всегда говорю правду!»
- Второй князь: «Ты солгал!»
- Третий князь: «Я всегда говорю правду!»
- Второй князь: «Ты солгал!»
- Первый князь: «Среди четырёх предыдущих высказываний только одно верное!»
- Третий князь: «Среди пяти предыдущих высказываний есть одно неверное!»
Отметьте все верные утверждения:
- первый князь может быть Честным
- второй князь может быть Честным
- третий князь может быть Честным
- среди всех высказываний может быть только 2 верных
- среди всех высказываний может быть только 3 верных
- среди всех высказываний может быть только 2 ложных
Ответ на Задачу 1.
Ответ: 2, 3, 5
Решение:
- Пусть первый князь честный. Тогда высказывания со второго по четвёртое должны быть ложны (в силу пятого высказывания). Но третье и четвёртое не могут быть одновременно ложными. Противоречие.
- Пусть второй князь честный. Тогда первый и третий нечестные, но при этом никаких ограничений на истинность их пятого и шестого высказываний это не накладывает.
- Пусть третий князь честный. Тогда второй нечестный (в силу четвёртого высказывания). Первый тоже нечестный, поэтому его первое высказывание ложно. Значит, оба высказывания третьего князя истинны. Больше никаких ограничений нет.
- 5) 6) Нетрудно посчитать, что в случаях, рассмотренных в пп. 2 и 3 ровно три верных высказывания. Неверных, соответственно, тоже 3.
